Il Dualismo Corda - Particella. La Teoria delle Stringhe spiegata per noi mortali.

Quello che segue è un articolo scritto da Bersani G. Fausto,laureato in fisica all'Università di Bologna nel 1988;il quale ha collaborato per 12 anni a progetti di ricerca c/o i Laboratori Nazionali del Gran Sasso e ora docente di Fisica al Liceo Scientifico A. Volta di Riccione (RN).

Gentilmente ha inviato un suo articolo sulla teoria delle stringhe, una teoria che se analizzata in profondità diventa inaccessibile ai più. In alternativa esistono approcci divulgativi senza però poter accedere ad alcune valutazione quantitativa. Quello che manca, crede, sia un accostamento alla teoria basato su una versione intermedia tra le due. Il suo articolo, intitolato " Il dualismo corda-particella", cerca di colmare, per quanto possibile, questo vuoto richiedendo conoscenze pregresse ad un livello di scuola superiore ed utilizzando poche e facili formule di fisica moderna. Quindi crede/o sia utile anche per consultazioni da parte di docenti e/o studenti in prossimità dell'esame di stato.

IL DUALISMO CORDA – PARTICELLA

(Bersani Greggio Fausto)

 
* Premessa

Il secolo scorso ha visto un succedersi di idee e scoperte rivoluzionarie che hanno influenzato lo sviluppo della fisica fino ai nostri giorni. Tale sviluppo, pur nella sua complessità, introdusse poche costanti fisiche ricorrenti che si inseriscono nella descrizione sia dei fenomeni microscopici che macroscopici. E’ significativo ricordare che: 
- nel 1900 Planck introdusse la costante, h = 6,63•10^-34 Js, che porta il suo nome, dando inizio alla rivoluzione quantistica; 
- nel 1905 Einstein partì dall’invarianza della velocità della luce nel vuoto, c = 3•10 m/s, per arrivare alla teoria della Relatività Ristretta; 
- nel 1915 Einstein, dall’universalità della caduta libera, giunse ad una teoria geometrica della gravitazione, la Relatività Generale, in cui la costante di G = 6,67•10^-11 Nm determina quanto la materia curvi lo spazio-tempo. 
Inoltre, un altro aspetto tipico che emerge spesso in Fisica, ed al quale non si sottrae neppure la Fisica del ‘900, viene ben tratteggiato in una dichiarazione rilasciata da Richard P. Feynman nel 1966 il quale scrive: ...Mi è sempre sembrato strano che le leggi fondamentali della Fisica, una volta scoperte, possano apparire in così tante diverse forme che a prima vista non sembrano identiche, ma che con un po’di gioco matematico si riesca a mostrarne le relazioni...Non so perchè sia così, rimane un mistero, ma era qualcosa che avevo imparato dall’esperienza. C’è sempre un altro modo di dire la stessa cosa che non assomiglia affatto al modo in cui l’hai detta prima. Di questo fatto non conosco la ragione. Penso sia in qualche modo una rappresentazione della semplicità della natura...
In questo articolo, sulla scorta delle due osservazioni precedenti, mi propongo di introdurre una versione accessibile, ma rigorosa e, se possibile, originale, della teoria delle stringhe. Anche se esistono varianti più o meno articolate di questa teoria, possiamo senza dubbio affermare che tale sforzo concettuale rappresenta forse, allo stato attuale, la più grande speranza di comprendere la struttura intima della materia attraverso la ricerca di una “teoria finale”, una sorta di schema logico – matematico unitario che consenta in linea di principio di descrivere in poche equazioni le leggi della Natura. Tuttavia in generale la comprensione di una siffatta teoria è riservata ad un pubblico specialista a fronte di un impianto matematico alquanto complesso. 
Nelle pagine che seguono il bagaglio fisico – matematico necessario è limitato alle conoscenze raggiunte in un corso di Fisica al livello di un Liceo Scientifico.

Le costanti fondamentali e l’unificazione delle forze.

Già nel 1899 Planck aveva introdotto, come parametro fenomenologico, la costante hosservando che le tre costanti h, G, c, possono essere combinate per fornire altre costanti, chiamate rispettivamente, lunghezza di Planck lP, tempo di Planck tP  e massa di Planck m le quali danno vita a un sistema assoluto di unità di misura:

(con ћ = h/2π). 

A queste poi si può aggiungere la temperatura di Planck, TP, facendo uso della costante di Boltzmann , , la carica di Planck, qP, utilizzando la costante della legge di Coulomb  e la densità di Planck, ρP:

Lo stesso Einstein aveva basato le sue più famose teorie sulle costanti h, G, c.
Basti pensare che le equazioni della Relatività Ristretta ruotano interamente attorno alla velocità della luce, l’effetto fotoelettrico può essere espresso tramite la costante di Planck e la velocità della luce mentre, combinando la velocità della luce con la costante di Newton, è possibile entrare nell’ambito della Relatività Generale.
In seguito Einstein si pose però anche il problema di combinare tutte e tre le costanti per arrivare
all’unificazione della teoria del campo elettromagnetico con quella del campo gravitazionale per
raggiungere una teoria quantistica del campo gravitazionale.
Da allora, nell’arco di circa 50 anni, la fisica si è sempre mossa non solo nella direzione di una
teoria unificata, ma addirittura super-unificata confidando nella possibilità di sintetizzare tutte le
interazioni fondamentali in un’unica grande forza che tenga conto anche della forza nucleare forte e
della forza nucleare debole, situazione che, secondo alcune valutazioni teoriche, dovrebbe
verificarsi proprio ad un epoca corrispondente al tempo di Planck, quando la temperatura
dell’Universo era dell’ordine di di 10³²
°K. Situazioni fisiche più dense (e più calde) possono essere considerate estranee alla possibilità di analisi della fisica; per tale motivo molti ritengono di non poter concettualmente spingere lo studio della struttura dell’Universo per tempi inferiori all’età dell’Universo corrispondente a t ~ 10^-43 sec.
Da allora sappiamo che l’Universo si è progressivamente raffreddato fino a raggiungere la temperatura attuale della radiazione cosmica di fondo che corrisponde a circa 3°K ed una
separazione delle interazioni fondamentali (v. fig.1).

Tuttavia una delle maggiori difficoltà della fisica teorica contemporanea è la formulazione di una
teoria quantistica della gravità, in altri termini una teoria della gravitazione che si integri con le
teorie quantistiche degli altri tre campi di forze. Una vera e propria teoria in tal senso, a tutt’oggi,
non è stata ancora formulata.
La teoria delle stringhe è emersa come una possible soluzione. In questa teoria le particelle
fondamentali possono essere viste come oggetti estesi, per l’appunto stringhe, con dimensioni
tipiche dell’ordine di 10^-33 cm (oggi sappiamo che le particelle appaiono puntiformi fino a circa 10^-18 cm). I componenti fondamentali della teoria delle stringhe non sono particelle puntiformi, ma stringhe unidimensionali che possono essere aperte o chiuse ad anello (loop). Come le corde di uno strumento musicale, le stringhe possiedono determinati modi di vibrazione. Ma mentre queste in uno strumento musicale danno origine a diverse note musicali, le varie frequenze di oscillazione di una stringa generano diverse masse e cariche associate ad altrettante perticelle. In altri termini è come se le particelle fossero un insieme di note di una scala armonica suonata da una corda.
Ciò che manca allo stato attuale è un supporto matematico completo ed autoconsistente in grado di
fornire indicazioni sperimentali indirette circa la veridicità della teoria.



* Descrizione delle interazioni

I fisici hanno elaborato una teoria, nota come Modello Standard, sulla base del quale è possibile
suddividere le particelle in due categorie: i “fermioni”, come i quark e gli elettroni, che
costituiscono la materia ordinaria ed i “bosoni”, come il fotone, che trasmettono le forze, veri e
propri messaggeri intermediari delle varie interazioni.
Classicamente, l’interazione a distanza e’ descritta in termini di un potenziale (o campo) dovuto ad una sorgente, che agisce su un’altra particella. 
In Meccanica Quantistica invece la forza è vista in termini dello scambio di un “quanto” (particella 
bosonica) associato con il particolare tipo di interazione. Poiché il “quanto” trasporta energiaΔE e  quantità di moto, le leggi di conservazione sono soddisfatte solo se il processo avviene in un tempo Δt definito dal Principio di Indeterminazione di Heinsenberg: 

con un range, ossia una distanza entro cui l’interazione ha effetto, dell’ordine di

in cui m rappresenta la massa del bosone. Il quanto in tal caso è detto “virtuale”. 
Dalla (2) discende, ad esempio, che nel campo elettromagnetico, poichè il fotone ha massa nulla il
range risulta infinito.
Storicamente una delle prime applicazioni riguardò il caso delle forze nucleari tra due nucleoni: si 
conosceva, dagli anni ’30, che il raggio di azione tra due nucleoni era 
Evidentemente la sola forza elettromagnetica non è in grado di giustificare la stabilità del nucleo di 
un atomo, ragione per la quale è necessario ipotizzare l’esistenza di un’ulteriore forza in grado di
dominare la repulsione elettrica tra due o più protoni.
Utilizzano il modello di Yukawa si può immaginare che tra due nucleoni (p = protone, n = 
neutrone) venga scambiato un “quanto” (π=pione, v. fig.2) secondo i diagrammi spazio –
temporali di Feynman:

Dalla (2) si ottiene un valore della massa del bosone mediatore, in termini di energia, pari a: 

(Si ricorda che 1 eV = 1,6•10^-19 J).
La particella ipotizzata venne effettivamente scoperta nei Raggi Cosmici nel 1947, usando la
tecnica delle emulsioni nucleari. La sua massa corrisponde a circa 140 MeV, valore coerente, entro
gli errori sperimentali, con le previsioni.
Oggi sappiano che la forza nucleare forte è un po’ più complessa di così. Essa non è connessa
direttamente a neutroni e protoni, bensì ad uno strato di struttura più profondo al loro interno, al
livello dei quark. Ogni protone e neutrone è composto invariabilmente di tre quark. Questi sono
tenuti uniti dallo scambio di altre particelle mediatrici della forza forte, i gluoni.
Accanto alle forze nucleari forti segnaliamo ovviamente le interazioni elettromagnetiche,
responsabili della struttura atomica e molecolare della materia. Al livello microscopico l'interazione
si manifesta tra tutte le particelle dotate di carica elettrica diversa da zero ed ha come mediatore il
fotone.
La forza nucleare debole è quella che si discosta di più dalla nozione di forza della nostra
esperienza quotidiana. L'interazione debole non contribuisce tanto alla coesione della materia
quanto alla sua trasformazione, come ad esempio nei decadimenti radioattivi. I bosoni che
trasmettono questa interazione sono le particelle W e Z la cui scoperta valse il premio Nobel a Carlo
Rubbia nel 1984.
Infine la gravità è la più debole delle quattro forze, ma è quella a noi più familiare nella vita
quotidiana e fu la prima a essere studiata scientificamente. Il raggio d'azione della gravità è infinito
come quello dell'elettromagnetismo e, come accade per l'interazione elettromagnetica, l'intensità
dell'interazione gravitazionale diminuisce all'aumentare della distanza tra i corpi interagenti.
La gravità è chiaramente un'interazione fondamentale della natura, ma la teoria del Modello
Standard non è ancora in grado di spiegarla e di inserirla in modo soddisfacente in un quadro
completo ed unitario delle quattro interazioni fondamentali. Questo è uno dei principali problemi
aperti della fisica moderna. Inoltre il mediatore della gravità, per il quale si fa l'ipotesi che si tratti di
una particella di massa nulla (il gravitone), non è stato ancora sperimentalmente osservato.

 Dal dualismo onda – particella al dualismo corda – particella per una teoria unificata dei campi 

Se l’inizio del secolo scorso è stato contrassegnato dal dualismo onda – particella, punto nodale nella nascita della Meccanica Quantistica, la fisica contemporanea potrebbe essere segnata dal dualismo corda – particella.
Situazioni di questo genere non sono del tutto nuove in fisica. Basti pensare al modello dell’atomo di idrogeno introdotto da Bhor il quale ipotizzò che l’elettrone fosse una sorta di anello oscillante di raggio r, una vera e propria stringa chiusa su se stessa (loop) visualizzabile attraverso un’onda stazionaria avente un momento angolare quantizzato secondo la relazione:

Facciamo ora l’esempio dell’interazione elettromagnetica, una forza che può essere attrattiva o repulsiva. Abbiamo accennato al fatto che lo scambio di particelle, chiamate bosoni, è responsabile della forza che si stabilisce tra le particelle stesse. 
Questo scenario risulta facilmente intuitivo se consideriamo una forza repulsiva come quella che si stabilisce tra due protoni. Immaginiamo due pattinatori sul ghiaccio che si passano una palla (v. fig.3) la quale, nella fattispecie, sostituisce idealmente il fotone. La quantità di moto scambiata tra i due protoni fa si che le particelle rinculino respingendosi mutuamente.

Supponendo che le due particelle siano separate da una distanza r, se una delle due emette un quanto che raggiunge l’altra, la variazione della quantità di moto, sulla base del principio di indeterminazione di Heinsenberg sarà:

Dal momento che , avremo che

ritrovando la nota dipendenza dalla distanza espressa dalla legge di Coulomb.
Più difficile è immaginare la situazione se l’interazione è attrattiva, come avviene ad esempio tra un protone ed un elettrone o più in generale tra due particelle che formano un sistema legato, come il nucleo di un atomo, in cui interagiscono coppie di nucleoni, o un sistema binario di due corpi tenuti assieme dalla forza di gravità. In tal caso il modello repulsivo, descritto in fig.3, evidentemente non risulta corretto.

Dal momento che in Meccanica Quantistica le particelle possono essere viste anche come onde, è necessario che sulla stringa ad estremi fissati che collega i due pattinatori possano svilupparsi onde stazionarie (v. fig.5)
Una rappresentazione intuitiva di ciò che avviene può essere realizzata immaginando che questa volta i due pattinatori tengano le due estremità di una corda, la nuova versione del bosone mediatore per forze attrattive, mantenendola in tensione ed avvicinandosi reciprocamente, in assenza di altre forze. 

le cui frequenza armoniche, come è noto, soddisfano la relazione,

nella quale v rappresenta la velocità di propagazione dell’onda trasversale sulla corda di lunghezza R. La velocità, a sua volta, dipende dalla forza F con cui è tesa la corda e dalla massa per unità di lunghezza della corda, μ = m/R. 
La teoria ci dice che:

In questo contesto i bosoni sono visti non più come particelle puntiformi, ma come segmenti di una stringa e l’energia trasportata da questi segmenti li mette in vibrazione con una determinata frequenza: nuove vibrazioni sono interpretabili come nuove particelle. 
Mettendo a confronto la (2) con la (5), introducendo la condizione relativistica  ed imponendo, nell’ipotesi di una teoria di campo unificata, che la massa equivalente del bosone sia la stessa, sia che esso si presenti in forma particellare, nelle interazioni repulsive, che in forma di stringa, nelle interazioni attrattive, si ottiene

ossia,

E’significativo osservare che l’invarianza della massa equivalente del bosone rispetto ad entrambe le tipologie di interazioni, genera la medesima espressione della forza in funzione della distanza che avevamo ottenuto nel caso iniziale per la sola forza repulsiva (cfr. la (3) con la (6)). Tutto ciò in effetti depone a favore dell’ipotesi di una teoria unificata dei campi, ossia di una teoria che, sotto certe condizioni, riconduca tutte le forze ad una espressione unitaria.
Per capire meglio quando avvenga questo passaggio, si osservi che, mentre le corde classiche, vibranti con una tensione prefissata F, possono avere una qualunque dimensione R e, di conseguenza, una qualunque massa m (v. eq. (5)), le corde quantistiche, partendo dalla stessa ipotesi, hanno una dimensione minima legata al valore della costante di Planck e alla velocità della luce (v. eq (6)). Questo fatto fissa le condizioni in relazione alla scala alla quale è possibile raggiungere una teoria unificata.
Confrontando la (6) con le comuni espressioni della legge di gravitazione universale e della legge di Coulomb, è facile osservare che si devono verificare, rispettivamente, le seguenti identità:

Ponendo  si ottengono

ossia, la massa e la carica di Planck. In altri termini le note leggi che regolano la forza di gravità e la forza elettrica, di cui facciamo comunemente esperienza nell’Universo attuale, sono riconducibili ad una interazione unificata, espressa dalla (6), alla scala di Planck, epoca alla quale dominava la gravità quantistica.

 Conclusioni

Il modello descritto nel paragrafo precedente introduce un meccanismo che, partendo da basse energie, porta ad un limite univoco per tutte le interazioni alle alte energie. Per contro un tale approccio risulta ancora lontano dall’avere riscontri sperimentali: la scala di lunghezze ed energie a cui si dovrebbe dimostrare la doppia natura di particelle e corde per i bosoni mediatori sono ancora inacessibili per gli attuali esperimenti. Anche se il modello presentato in questo articolo risulta semplificato rispetto a teorie più avanzate delle strighe, sembra tuttavia soffrire della medesima limitazione, ossia una carenza, probabilmente sotto il profilo dello sviluppo matematico, tale da non poter propagare risultati facilmente verificabili alle basse energie.
Il termine “probabilmente” è legato al fatto che non è comunque garantito che allo stato attuale dell’Universo si possano comunque costruire esperimenti comprovanti la teoria delle stringhe, nel qual caso dovremo accontentarci di un modello di teoria unificata dei campi, circoscritto alle primissime fasi di vita dell’Universo, senza alcun tipo di messaggio da noi leggibile a livello sperimentale.

Bibliografia:
1. Le grandi idee della Fisica Moderna (Liceo Farnesina – Roma) – Danilo Babusci – INFN  Lb. Frascati
2. pc.giammarchi.mi.infn.it/giammarchi/ForzeFondamentaliV4.ppt
3. Storia delle scoperte scientifiche del ‘900. Gravitazione e cosmologia: da Einstein alle
superstringhe. – Gabriele Veneziano – CERN/PH-TH e Collège de France, Milano 2005
4. www.ba.infn.it/~palano/math/Complementi/fisica_moderna.pdf
5. Complementi di Fisica, fisica moderna, P.J. Nolan
6. Fisica 2, Halliday, Resnick, Fisica 2
7. it.wikipedia.org/wiki/Unità_di_misura_di_Planck
8. Interazioni fondamentali, gravità e stringhe, Gianfranco Pradisi, Dip. Di Fisica Univ. Roma  Tor Vergata, 2008